八省联考数学这道题中多面体的总曲率有什么含义?
2024-11-21 20:03:33 | 学子网
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用初中数学破解：2021年八省联考立体几何大题
北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定∶多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如∶正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正四面体在各顶点的曲率为 ，故其总曲率为 .（1）求四棱锥的总曲率;
（2）若多面体满足∶ 顶点数-棱数+面数=2，证明∶ 这类多面体的总曲率是常数.
【解答第1问】
四棱锥有5个顶点和5个面，其中1个四边形，4个三角形，其面角总和 =
总曲率=
【解答第2问】
如图所示，对于平面上的n边形，在多边形内任取一点Q，可以将其拆分为n个三角形。因为任意三角形的内角之和等于180度，所以，这些三角形的内角之和等于： ; 由于在点Q处还有一个 角，所以，n边形的内角之和等于： ，也就是: .
对于多面体的每个面依法炮制，可得三角形的数量 = 棱数 × 2
可得 角的数量 = 面数
按照曲率公式，
总曲率 = 顶点数 - (棱数 - 面数 ) = (顶点数-棱数+面数)
证明完毕.
【回归教材】
多边形的内角和是几何学的一个基本问题，人教版《数学-八年级上册》（第21页）第11章 §11.3.2 的标题即为：《多边形的内角和》
可见，本题考查的属于：基本概念和基本方法。
【提炼与提高】
为什么有好多学生感觉这个题很难？原因在于：它太基本了，在经过大量的、重复性的机械的训练之后，学生已经不会用基本的方法解决问题。遇到这样和所有『题型』都不靠的问题，就无从下手。
为了成功解答本题，考生要过几关：
1）读懂题目，关键是在几分钟内理解一个新的概念：多面体的曲率。
2）掌握多边形内角和公式的推导过程，而不仅仅是结论。
3）经过观察和归纳，得出结论：三角形的数量=棱数×2. 这点并不难，但现实中就是有人做不到。
多年来，中学数学的教学存在一种理论与实践脱节的倾向：专家们不断强调数学思想和方法；中学教师一直在带着自己的学生拼命刷题。
八省联考数学卷，向大家传递了这样一个信号：命题人办法是很多的。在对高考制度不进行大变的前提下，加强对于学生能力的考查，是完全可以做到的。
对于备考的学生和教师来说，我的建议是：
1）多思考，多总结；切忌盲目做题。
2）花点时间读读教科书，包括初中和高中的教科书，会用到的。
八省联考数学这道题中多面体的总曲率有什么含义?
从连续微分几何的角度来看，这么定义也可以理解，因为曲率本来就可以从holonomy的角度去理解。这题目出成中学数学题也没什么不妥，虽然背景来自微分几何，但是抛开背景，涉及的知识完全是初等的组合数学。
可以知道做功的多少。因为曲率半径越大越省力，而转角越大力走过的路程越大，所以知道这两个参数，就可以计算出做功多少。
平面曲线的曲率：
对于平面曲线C，在一点P的曲率大小等于密切圆半径的倒数，它是一个指向该圆圆心的向量。其大小可用屈光度（dioptre）衡量，1屈光度等于1（弧度）每米。此密切圆的半径即为曲率半径。
密切圆的半径越小，曲率越大；所以曲线接近平直的时候，曲率接近0，而当曲线急速转弯时，曲率很大。 学子网
直线曲率处处为0；半径为r的圆曲率处处为1/r。
八省联考成绩出来了，某些省份数学平均分才60多，对此你怎么看？
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八省联考成绩出来了，可是有些省份的数学平均分才60多，这个数据也让很多人大跌眼球，我们都知道数学的总分一般是150分，90分才算及格，60分的成绩只能说很差，从联考中也可以看出，各个省份在数学方面的成就也有所差异，例如在苏州学生的数学成绩都普遍比较好，而这个数据也透露出很多的问题。
不同地区教学资源存在很大的差异。在中国不同省份各自命题，而且每个大学从每个省份招聘的人数都不相同，例如北京大学在北京招聘的人数要比重庆招聘的人数都很多，北京也拥有更多优秀老师和教学资源，那么在教学过程，学生的成绩很容易受到教学环境的影响，平均60分的数学成绩也证明这个省份的教学资源比较差，导致学生们在数学成绩方面普遍不行。
这次联考也凸显出数学难度比较大。为了拉开差异，很多老师在命题的时候就会增加数学难度，由于不同省份学习资料不一样，在联考的时候很可能会出现水土不服的情况，这次联考也暴露出不同地区在教育环境上面存在很大的差异，教育部门一直在提倡教育公平教育资源，千万不能集中在某一个地方，大三的孩子也有权利去接受更好的教育，他们才能走出山村融入大城市。
很多城市为了比个输赢，经常会举办联考。由于各个地方贫富差距和教学资源都不一样，每个省份都是自主命题，所以在公平上面也一直被许多学生诟病，我相信在未来国内的所有城市全部会实行统一试卷统一考试，让所有的考生全部站在同一起跑线上，不是每个省份分开考试，这样才能优中选优，选出更好的学生。
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